MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2026
QUESTÃO 1
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Avaliação Prática da Aprendizagem
O cálculo, em parte por razões históricas, costuma ser dividido em dois
ramos: o diferencial e o integral. Esse assunto foi desenvolvido no século XVII
para resolver dois problemas geométricos importantes: encontrar retas tangentes
a curvas (cálculo diferencial) e calcular a área abaixo de curvas (cálculo
integral). Contudo, o cálculo é um assunto muito vasto, sem fronteiras bem
delimitadas.
Fonte:
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman,
2018.
O cálculo
diferencial e integral é uma importante ferramenta matemática utilizada para
compreender, modelar e solucionar situações presentes tanto no cotidiano quanto
no ambiente profissional. Imagine que você faça parte de uma equipe de
engenharia responsável pelo planejamento de um sistema de armazenamento de água
para atender a uma pequena unidade industrial. Durante o projeto, sua equipe
analisa o comportamento do volume de água em um reservatório, prevê sua
variação ao longo do tempo e determina condições para utilizar o sistema de
maneira mais eficiente.
O reservatório
possui capacidade máxima de 12.000 litros. A quantidade de água armazenada
varia ao longo do tempo devido à entrada e à saída de água. Considere que o
comportamento do volume seja aproximado pelo modelo:
V (t) = 2000 + 600 t + 200 t²
em que t representa o tempo, em horas, e V(t) representa o volume de água
armazenado, em litros.
Como integrante da equipe de engenharia, analise matematicamente o sistema e
apresente conclusões que possam auxiliar na tomada de decisões do projeto.
Parte 1.
Considerando que o reservatório possui capacidade máxima de 12000 L, determine
em quanto tempo o reservatório atingirá sua capacidade máxima.
Parte 2.
A equipe percebeu que é necessário conhecer a velocidade com que o volume de
água está aumentando. Para isso, calcule também V′(2) e V′(5), compare os
resultados e explique o que essa comparação revela sobre o comportamento do
sistema.
Parte 3.
Durante a operação do reservatório, a equipe de engenharia precisa estabelecer
um procedimento de segurança. O sistema de bombeamento deve ser monitorado
quando a taxa de aumento do volume atingir 3000 L/h, pois, a partir desse
ponto, a entrada de água ocorre em uma velocidade considerada elevada para o
sistema. Determine o instante t em que a taxa de aumento do volume atinge 3000
L/h.
Parte 4.
Após algumas alterações no sistema, a equipe decidiu analisar a quantidade
total de água que entra no reservatório durante determinado intervalo de tempo.
Considere que a taxa de entrada de água seja representada por:
q (t) = 600 + 400 t
em que q(t) é dada em litros por hora.
A equipe deseja determinar a quantidade de água que entrou no reservatório
entre 2 e 5 horas. Sabe-se que essa quantidade a ser calculada é representada
pela área abaixo da curva do gráfico q(t) no intervalo delimitado, conforme a
Figura 1.
Figura 1 – Gráfico da função q(t)
Fonte: o autor.
Utilizando o conceito de integral definida, determine a quantidade total de
água que entrou no reservatório entre t = 2 h e t = 5 h.
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