MAPA - SINAIS
E SISTEMAS LINEARES - 52_2026
QUESTÃO 1
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MAPA
52/2026 – Sinais e Sistemas Lineares
O estudo de sinais e sistemas lineares invariantes no tempo constitui um dos
pilares fundamentais da engenharia elétrica, especialmente nas áreas de
controle de processos, telecomunicações, processamento de sinais e sistemas
dinâmicos. Em termos formais, um sistema LTI pode ser completamente
caracterizado por sua resposta ao impulso ou, de maneira equivalente, por sua
função de transferência no domínio complexo. Entretanto, a análise direta no
domínio do tempo frequentemente conduz a equações diferenciais de difícil
manipulação analítica, o que motiva a utilização de ferramentas matemáticas
mais sofisticadas, como as transformadas integrais.
Nesse contexto, a Transformada de Laplace emerge como uma ferramenta essencial
para a análise de sistemas dinâmicos, permitindo a conversão de equações
diferenciais em equações algébricas no domínio de 
, simplificando significativamente
o processo de resolução. Além disso, essa transformada permite incorporar
condições iniciais de forma natural e fornece uma ponte direta com a teoria de
controle, especialmente na análise de estabilidade, resposta transitória e
regime permanente de sistemas em malha fechada.
Paralelamente, a Transformada de Fourier desempenha um papel crucial na análise
espectral de sinais, permitindo decompor um sinal em suas componentes
harmônicas e compreender como a energia está distribuída ao longo do espectro
de frequências. Essa análise é indispensável em aplicações práticas como
filtragem, comunicação digital, análise de ruído e sistemas de instrumentação.
1) Considere o sinal:
em que 
é a função degrau unitário.
Partindo exclusivamente da definição integral da Transformada de Laplace,
determine a expressão de 
. O desenvolvimento deve ser
realizado de forma completa, evidenciando todas as etapas intermediárias,
incluindo manipulação algébrica, substituições e aplicação de técnicas de
integração apropriadas.
A Transformada de Laplace de um sinal causal é definida por:
Substituindo o sinal fornecido, observa-se que o integrando assume a forma de
um produto entre um termo polinomial em 
e uma exponencial decrescente. Esse
tipo de estrutura sugere a aplicação do método de integração por partes, uma
vez que a presença do termo impede a integração direta.
Calcule a Transformada de Laplace de 
utilizando a definição integral. É
obrigatório apresentar todo o desenvolvimento matemático.
2) Utilizando o resultado obtido na questão (1) anterior, considere
agora um sistema dinâmico representado por uma função de transferência:
Esse processo envolve a aplicação direta da teoria clássica de controle, na
qual a função de transferência de malha fechada é expressa como:
Determine a função de transferência em malha fechada e apresente o sinal da
saída 
.
3) Considere um sistema de aquisição de sinais biomédicos (ex.: ECG
simplificado), em que o sinal pode ser modelado como:
Trata-se de um sinal bilateral, contínuo, absolutamente integrável e simétrico
em relação à origem, características que o tornam particularmente relevante em
aplicações de engenharia, como modelagem de respostas impulsivas em sistemas
físicos dissipativos, circuitos RC e fenômenos de relaxação exponencial.
a) Calcule a Transformada de Fourier.
b) Interprete o espectro obtido.
Bons estudos!
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