MAPA - ESOFT - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -
54_2024
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E-MAIL: Mvf5system@gmail.comOlá, estudante!
Essa é a proposta de atividade M.A.P.A. (Material de Avaliação Prática
da Aprendizagem), e você terá a oportunidade de explorar conceitos fundamentais
de cálculo diferencial.
Contextualização:
Você já viu o funcionamento de um dique ou barragem?
Os diques são estruturas de engenharia hidráulica que servem para
controlar a água de rios e lagos. Essas estruturas possuem dois principais
objetivos: evitar inundações e criar novas áreas de terra.
São muito utilizados para evitar inundações ao impedir que a água de
rios e lagos transbordem. Afinal, isso é importante para proteger áreas
habitadas e infraestruturas importantes.
Além disso, os diques também podem ser usados para criar novas áreas de
terra. Isso é feito construindo um dique em uma área inundada e, em seguida,
drenando a água. Essas novas áreas de terra podem ser usadas para agricultura,
habitação ou outros propósitos.
Vamos entender melhor:
https://www.youtube.com/watch?v=MEEVcpnfElY
Falando agora sobre as formas que essas estruturas podem assumir, é
possível dizer os diques podem assumir várias formas geométricas, dependendo de
sua função, do tipo de solo e das condições ambientais. As formas geométricas
mais comuns incluem:
Retangular: é uma das formas mais simples e comuns, especialmente em áreas
planas. Os diques retangulares têm uma base larga e uma altura uniforme,
proporcionando uma barreira efetiva contra a água.
Curvilíneo: essa forma é frequentemente usada em áreas em que é necessário
se adaptar ao contorno natural do terreno ou para otimizar a eficiência em
controlar o fluxo de água. Diques curvilíneos podem ter uma forma sinuosa que
segue o curso dos rios ou das linhas costeiras.
Triangular: em alguns casos, os diques podem ter uma forma triangular,
especialmente quando são projetados para suportar grandes volumes de água em
áreas específicas. Essa forma pode ajudar a distribuir a pressão da água de
maneira mais uniforme.
Côncava ou Convexa: dependendo da pressão da água e das características do
solo, um dique pode ser projetado com uma superfície côncava (curvada para
dentro) ou convexa (curvada para fora). O formato côncavo pode ajudar a
resistir melhor à pressão da água, enquanto o formato convexo pode ajudar a
desviar a água.
Em Forma de Coração ou em L: algumas vezes, os diques são projetados com
formas mais complexas, como em "L" ou outras formas personalizadas,
para se ajustar a características específicas do terreno ou para integrar-se
com outras estruturas de controle de água.
Misto: em muitos casos, os diques combinam várias formas geométricas para
atender melhor às necessidades específicas do local. Por exemplo, um dique pode
ter uma base retangular com uma parte superior curvilínea.
Material Complementar:
Link Geogebra:
https://www.geogebra.org/calculator/kbxrpzqx
Avaliação:
Imagine a seguinte situação:
Você foi contratado para desenvolver um software que faça o controle de
vazão de água de um dique cujo formato é definido como uma semiparábola. Para
esse software, foram fornecidas as seguintes imagens:
Fonte:
https://www.cadena3.com/noticia/cordoba/6-diques-para-visitar-un-fin-de-semana-en-cordoba_293420.
Acesso em: 17 set. 2024.
Fonte: https://www.cadena3.com/noticia/cordoba/6-diques-para-visitar-un-fin-de-semana-en-cordoba_293420.
Acesso em: 17 set. 2024.
Em termos mais específicos, o dique foi projetado de forma que sua
superfície fosse definida através do arco da parábola f(x) = 1/3.x² delimitada
por (2,4/3) e (4,16/3), girando em torno do eixo y, resultando na seguinte
imagem:
Fonte: a autora.
Contudo, para a construção desse dique, devido ao relevo da região, foi
utilizada somente metade da superfície de revolução definida, tal como:
Fonte: a autora.
Considerando que a área de uma superfície é calculada, no caso
onde f é positiva e tem derivada contínua, definimos a área da
superfície obtida pela rotação da curva y=f(x), 
em torno do eixo y como:
Responda:
a) Qual é a área da região definida anteriormente, expressa em unidades
de área (u.a)?
Para responder ao item b) imagine agora a seguinte situação: é
necessário que se defina o volume de concreto existente para essa barragem,
definido entre as seguintes funções:
Considerando, ainda, que o volume de um sólido de revolução em relação
ao eixo y será dado por:
Sua imagem está definida:
Fonte: a autora.
Responda:
b) Qual é o valor do volume da região compreendida entre as funções f(x)
e g(x)?
Resposta em unidades de volume (u.v).
Considere a integração em relação ao eixo y.
c) Seguindo ainda a questão de vazão, você deve projetar 3 janelas de
vazão de forma retangular, tal como a imagem a seguir:
Considerando que cada uma dessas janelas tenham um perímetro de 20m,
qual é a área máxima desse retângulo respeitando as informações fornecidas?
Considere que a área de um retângulo é dada por A = BxH, onde (B = Base;
H = Altura). Lembrando de considerar o retângulo em um plano e sem considerar a
curva do dique.
Observação: mostre os cálculos para os itens a), b) e c).
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